Dérivée du produit par une constante

Propriété

Soit  `f`  une fonction définie sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` de la forme  `f=ku`  où  `u`  est une fonction dérivable sur  `I`  et  `k`  un réel.
Alors  `f`  est dérivable sur  `I`  et pour tout    `x\inI` ,  \(f'(x)=ku'(x)\) .

Démonstration

Soit  `f=ku`   et  `a\inI` . 
Pour tout réel  `h\ne0`  tel que `(a+h)\inI` , on a : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\)

Or,  `u` étant dérivable en  `a` , on a :  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)\) .

Ainsi,  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=ku'(a)\) . 

La fonction  `f=ku`  est donc dérivable pour tout  `a\in I`  et  \(f'(a)=ku'(a)\) .